Du må være registrert og logget inn for å kunne legge ut innlegg på freak.no
X
LOGG INN
... eller du kan registrere deg nå
Dette nettstedet er avhengig av annonseinntekter for å holde driften og videre utvikling igang. Vi liker ikke reklame heller, men alternativene er ikke mange. Vær snill å vurder å slå av annonseblokkering, eller å abonnere på en reklamefri utgave av nettstedet.
  12 3560
Hei!
Søkte litt rundt på forumet, og så ikke ut til å finne noen tråder om dette.
Uansett, broren min forklarte et merkelig paradoks til meg i går, og jeg klarer bare ikke å få det ut av hodet.

Det går som følgende:
En dag møtte den store atleten Akilles en skilpadde. Skilpadden spurte om Akilles ville løpe om kapp med den. Men siden Akilles var en så sprek atlet, ville skilpadden ha et lite forsprang. Akilles gikk selvfølgelig med på det, og lot skilpadden få et godt forsprang før han selv begynte å løpe.
Først måtte Akilles komme til det stedet der skilpadden var da Akilles begynte å løpe. Men da var skilpadden kommet litt lenger fram. Så måtte Akilles komme dit skilpadden nå var kommet. Men da var skilpadden kommet enda lenger fram. Og slik fortsatte det. Hele tiden måtte Akilles først komme til det
stedet der skilpadden befant seg, og da var skilpadden kommet enda litt lenger fram. Altså var det umulig for Akilles å nå igjen skilpadden, og enda mer umulig å løpe forbi.

Jeg ble helt mindfucka ihvertfall, alle vet jo at i praksis, så tar jo en rask person igjen en treg person, akkurat som en bil tar igjen en fotgjenger, men ifølge dette er jo det egentlig umulig? Hva tror dere om dette, noen som har et forslag til en løsning kanskje?


Om noen ikke skjønte det, er det en video her som kanskje forklarer det litt bedre: http://www.youtube.com/watch?v=skM37PcZmWE
det historien ikke tar i betraktning er tida og farta de beveger seg i. Si at akilles løper dobbelt så fort som skilpadda, og du stopper og ser på posisjonen hver gang akilles kommer til punktet hvor skilpadda var ved forrige måling, og at skilpadda starter med 1 meter forsprang og løper med 0.5m/s og akilles da med 1m/s. Da blir avstanden akilles har løpt (A) og skilpadda (S)

etter n målinger har du:

A = 0 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^(n-1)
S = 1+ 1/2 + ....+ 1/(n-1) + 1/2^n
forskjellen i avstanden blir da hele tida: S -A = 1/n

men om du ser på tida dette tar: så er det 1+ 1/2 + 1/4+ ....+ 1/2^n sekunder

om vi lar n-> uendelig så får vi en geometrisk rekke sum(a^n) når n-> uendelig = 1/(1-a), for a < 1

og vi får da sum(1/2^n) n-> uendelig = 1/(1-1/2) = 2 sekunder.

Dermed så lenge du bruker denne målemetoden så vil det aldri gå mer enn 2 sekunder, og silpadda vil aldri bevege seg mer enn 2 meter. Noe som ikke vil stemme i den virkelige verden.

Men om du tar måling hvert sekund, så vil etter 3 sekund skilpadda ha beveget seg 2.5 meter, mens Akilles har kommet seg 3 meter avgårde.
Sist endret av wubster; 19. november 2012 kl. 18:05.
There's more to it than that... de hadde avansert matematikk også på Parmenides tid. Er litt i farta akkurat nå, men jeg vil gjerne se på det litt senere i kveld. Jeg vet bare at problemet ikke er løst bare ved å trekke inn det innlysende faktum at skilpadda og Akilles har forskjellig hastighet.
Xeno's paradoks (som er det jeg oppfatter at du prøver å beskrive) forutsetter at det ikke finnes en minste enhet lengde og den minste enhet tid. Dette er etter vår oppfattelse av verden feil. Google Planck.
Man skal komme seg fra punkt A til B.
For å komme frem til punkt B, så må man komme halveis først.
Når man har kommet så langt, så må man igjen fullføre halvparten av den nye strekningen.
Og slik fortsetter det. Man må alltid komme halveis før man er framme, altså kommer man aldri frem til punkt B.
Sitat av BirkirBjarnason Vis innlegg
Man skal komme seg fra punkt A til B.
For å komme frem til punkt B, så må man komme halveis først.
Når man har kommet så langt, så må man igjen fullføre halvparten av den nye strekningen.
Og slik fortsetter det. Man må alltid komme halveis før man er framme, altså kommer man aldri frem til punkt B.
Vis hele sitatet...
Dette forutsetter at du alltid kan dele en lengde på to. Moderne fysikk er uenig.
Det er så enkelt som dette:

Summen 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/n vil aldri bli lik en.

Du har en kake, du skjærer den først i to. Du spiser den ene halvdelen, og skjærer den andre halvdelen i to. Du spiser det ene stykket, og skjærer det resterende stykket i to. Du kan gjenta denne prosessen ut i evigheten uten å spise opp hele kaken.

Sitat av Bjønnfaen Vis innlegg
Dette forutsetter at du alltid kan dele en lengde på to. Moderne fysikk er uenig.
Vis hele sitatet...
Matematisk er det korrekt, og det er det det er snakk om her. Uansett så finnes det ingen grense for hvor kort avstanden mellom to punkter kan være, selv om det finnes begrensninger for hvor små avstander vi kan måle.

Vil forresten legge til at kaken jeg nevnte ovenfor er fritatt fra fysikkens lover.
Sist endret av Orph; 19. november 2012 kl. 20:33.
Sitat av Orph Vis innlegg
Det er så enkelt som dette:

Summen 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/n vil aldri bli lik en.

[...]
Vis hele sitatet...
Jo, det vil den. I strengeste matematiske forstand. Greia er at selv om størrelsen går mot null, så er summen uendelig. For å hanskes med uendelige summer og uendelige små biter har vi kalkulus. Kalkulus er prinsippielt sett totalt brainfuck, og har drevet store matematikere fra forstanden. Men i grenseverdien uendelig så summerer rekka til 1. Eksakt 1, ingen avrunding med i bildet. Grunnen er at når du går mot uendelig så ertstattes rekka med et integral, og integralet av denne funksjonen er 1.

For å dra den litt videre: jeg påstår at
1.0 = 0.9999999....
(uendelig mange desimaler)
bevis:
anta x = 0.99999...
10x = 9.99999.....
10x - x = 9.99999... - 0.9999999
9x = 9
x = 1
QED
Sist endret av Myoxocephalus; 10. mars 2019 kl. 11:00.
Sitat av Myoxocephalus Vis innlegg
Jo, det vil den. I strengeste matematiske forstand. Greia er at selv om størrelsen går mot null, så er summen uendelig. For å hanskes med uendelige summer og uendelige små biter har vi kalkulus. Kalkulus er prinsippielt sett totalt brainfuck, og har drevet store matematikere fra forstanden. Men i grenseverdien uendelig så summerer rekka til 1. Eksakt 1, ingen avrunding med i bildet. Grunnen er at når du går mot uendelig så ertstattes rekka med et integral, og integralet av denne funksjonen er 1.

For å dra den litt videre: jeg påstår at
1.0 = 0.9999999....
(uendelig mange desimaler)
bevis:
anta x = 0.99999...
10x = 9.99999.....
10x - x = 9.99999... - 0.9999999
9x = 9
x = 1
QED
Vis hele sitatet...
Men likefult hevdes det i Calculus av Summen av rekken (1/n) n=1-> n=inf. Divergerer, det blir jo en motsigelse.
Sist endret av Myoxocephalus; 13. mars 2019 kl. 17:53.
På tiden paradokset ble presentert hadde de veldig liten kunnskap om uendelige rekker, men når vi kommer lengre frem i historien viser det seg at enkelte uendelige rekker konvergerer (dvs. går mot en bestemt sum), mens andre divergerer (går ikke mot en bestemt sum, altså blir uendelig store).

Når Akilles vil ta igjen skilpadden har vi at avstanden mellom Akilles og skilpadden synker med 1/n^2, siden avstanden halveres hver gang Akilles kommer til det punktet skilpadden befant seg forrige gang. Det gir den geometriske rekken

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16+...+1/(n^2), når n går mot uendelig.

Når menneskeheten begynte å få en bedre forståelse av uendelige rekker viste det seg at rekken 1/n^2 faktisk konvergerer, og at Akilles vil ta igjen skilpadden både i teori og praksis.

Edit: Du kan lese mer om rekker her: http://no.wikipedia.org/wiki/Konvergens (tynt, men les heller engelsk utgave om denne vekker interesse)
Sist endret av WTyskeberget; 20. november 2012 kl. 13:38.
Beklager, trodde det var snakk om rekken 1/n, noe det åpenbart ikke er! Haha!

Carry on
Sitat av Myoxocephalus Vis innlegg
Jo, det vil den. I strengeste matematiske forstand.
Vis hele sitatet...
Du har rett. Det var en brainfart for min del (lang dag), jeg tok ikke hensyn til uendeligheten.
Sitat av WTyskeberget Vis innlegg
På tiden paradokset ble presentert hadde de veldig liten kunnskap om uendelige rekker, men når vi kommer lengre frem i historien viser det seg at enkelte uendelige rekker konvergerer (dvs. går mot en bestemt sum), mens andre divergerer (går ikke mot en bestemt sum, altså blir uendelig store).

Når Akilles vil ta igjen skilpadden har vi at avstanden mellom Akilles og skilpadden synker med 1/n^2, siden avstanden halveres hver gang Akilles kommer til det punktet skilpadden befant seg forrige gang. Det gir den geometriske rekken

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16+...+1/(n^2), når n går mot uendelig.

Når menneskeheten begynte å få en bedre forståelse av uendelige rekker viste det seg at rekken 1/n^2 faktisk konvergerer, og at Akilles vil ta igjen skilpadden både i teori og praksis.

Edit: Du kan lese mer om rekker her: http://no.wikipedia.org/wiki/Konvergens (tynt, men les heller engelsk utgave om denne vekker interesse)
Vis hele sitatet...
Oops! Skulle stått 1/(2^n) istedenfor 1/(n^2), men siden 1/(2^n) synker raskere enn 1/(n^2) vil den fortsatt konvergere.