Vi vet at det kan tenkes at alle tall egentlig har uendelig med desimaler bak seg. Så jeg lurer da på hvordan et helt tall kan gå over til det neste hele tallet? La oss f. eks si nøyaktig fra 1 til 2. Vi kan tenke oss akkurat det samme med tid, fra nøyaktig 1 sek til 2 sek.

Har det uendelig desimaler bak seg er det fortsatt ikke et annet tall.
Du kan ta tallet 2 og legge til desimaler (0) til du dør av enten alderdom eller frustrasjon, tallet har fortsatt samme verdi som 2.

Beklager sidesporet, men..

Hvor mange desimaler har "pi"?

(så et program på TV hvor noen skulle memorisere desimalene, og etter min hukommelse så var det 1 haug med desimaler..)

Yup; Newbie

Såvidt jeg vet har "pi" evig med desimaler etter det matematikkere har funnet ut. De har riktignok regnet ut de første par millioner med siffre i det da. (orker ikke sjekke opp hvor mange desimaler).

Pi er et irrasjonalt tall, dvs. uendelig antall desimaler. Står masse informasjon om pi på bl.a. http://en.wikipedia.org/wiki/Pi

Tall og tid er et menneskeskapt begrep ja, men vi sier jo at det kan være uendelig med desimaler bak tall. Så man skulle nesten ha trodd at det da var teoretisk mulig å kunne telle helt fra 1 og opp til 2, der vi teller med absolutt alle desimalene mellom 1 og 2. Det er uendelig mange, men teller du ikke alle så blir det ikke helt riktig. Tenk på denne måten: Hvis det f. eks hadde vært en lek, så hadde du jukset om du ikke telte alle. Prøv å vinn den leken uten å jukse.

Det her har nok ingen eller veldig liten betydning i praksis. Prøver bare å filosofere litt teoretisk med det.

Her

http://www.thealmightyguru.com/Pointless/PI-10000.html

Du sier det er uendelig med desimaler mellom 1 og 2, noe som stemmer. Men etter som det er uendelig mange, så lurer jeg på hvordan du mener man skal greie å telle alle. Klarer du å telle til uendelig?

Nei det er ikke mulig å telle til det uendelige, akkurat det som er problemet. Men dropper man desimaler så blir det ikke riktig, du er enda uendelig langt unna av å klare "leken". Og det er jo vi mennesker som har laget reglene til "leken" med å si at det finnes uendelig mange desimaler mellom f. eks 1 og 2. Samme med tid, hvordan kan i hele tatt tiden gå videre fra 1 sek til 2 sek når det er uendelig mange desimaler i mellom teoretisk? Siden vi vet at tiden går fra sekund til sekund i praksis, altså tiden går fremover. Så skulle det jo være teoretisk mulig å kunne telle dette helt nøyaktig? Eller runder vi bare av tiden? I så fall vil jo tiden på den måten bli bite litt feil over veldig veldig lang tid.

Det hele er vel et filosofisk/mattematisk spørsmål som ingen kan bevise at de har svaret på. Har hørt at det finnes mattematiske teorier på dette området, men det er mye uenighet om disse. Og jeg har ikke noe peiling på disse, så skal ikke utdype meg på de.

Grunnen til at jeg startet denne tråden er i grunn bare for å høre hva andre mener/tenker om saken.

Jeg er en agnostiker, jeg tror på det så lenge det blir bevisst, det er ingen som har telt til det uendelige eller målt noe uendelig, så derfor er jeg overbevisst om at det uendelige ikke er reelt og ikke noe mer å tenke på.

Det kan matematisk bevises at 0.999...=1.

1/3=0.333... 2/3=0.666 3/3=0.999 eller 1.

x=0.999...
10x=9.999...
10x-x=9.999...-0.999...
9x=9
x=1
0.999=1

Finnes mange flere måter....

Nei. 0.999..osv med evige 9-tall bak blir aldri noe annet enn det i matematikken.

Du kan få lov til å runde det opp til 1, og kalle det tilnærmet lik 1. Men ikke si er lik.

Jo.

0.999... = 1.

Ikkje tilnærma lik, ikkje avrunda. Det er LIK 1. Akkurat lik en. Nøyaktig samme punktet på tallinja.

1/3 = 0.333...
3/3 = 3*0.333... = 1.

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Berre for å svara litt på det med å tella alle tala mellom 1 og 2: det går ikkje. Dei reelle tala (som omfattar alle tal du finner på ei tallinje) er ikkje tellbare, matematisk sett. Det er litt vanskeleg å få grep på kva "tellbar" betyr når ein ikkje har studert matematikk, men ein måte å sjå på det som er at det er "like mange" som dei naturlege tala (som e 1, 2, 3,..). Det er jo uendeleg mange naturlege tal, men overgangen frå eit til det neste er mogleg, så du kan i teorien tella så lenge du orker.

Denne overgangen frå eit element til det neste er ikkje mogleg for dei reelle tala: viss du tar to vilkårlege reelle tal, så vil det eksistera uendeleg mange reelle tal mellom desse - uansett. Derfor er det heilt umogleg å finna "neste reelle tal" når du teller. Så derfor seier me at dei ikkje er tellbare.

Ja, jeg kjenner denne artikkelen - og har sett en rekke tilsvarende diskusjoner. For dette temaet er omstridt.

Men noen, inklusive stabukken ego, hevder hardnakket at dette fortsatt er en konvensjon, all den tid at noen aldri har klart å regne med uendelig antall desimaler.

Og konvensjoner er jo noe man stilltiende blir enige om, uten å nødvendigvis akseptere at det er slik.

Det er ikke omstridt blant folk som bruker matte til noe mer enn å legge sammen priser mens de handler i butikken. For å si det annerledes, selv om det finnes bevis tidligere i emnet: Hvis 0.99999... er ulikt 1 må 1 - 0.9999... være ulikt null. Hva blir dette tallet? Uendelig mange nuller etterfulgt av et ettall? Det er en meningsløs definisjon.

Ja! uendeligmangetegn

Hva får du hvis du deler et annet tall på dette tallet? Ganger? Hvis du tillater denslags definisjoner til å falle under tall bryter all aritmetikken sammen. Det tallet er og blir 0, siden 1-1 er lik null. Algebraisk bevis finnes tidligere i tråden

Dette minner meg om en gammel gresk filosof (husker ikke hva han het, ikke en av de mest kjente i hvertfall). Han mente at ingenting eksisterte og kom fram til noen paradokser. Den mest kjente er den om skilpadden og Akilles som skulle løpe om kapp. Skilpadda fikk et forsprang. Når Akilles begynte å løpe, var skilpadda kommet et stykke på vei. Når Akilles kom til der skilpadda var når han startet, hadde skilpadda kommet litt lengre. Når Akilles kom til der skilpadda var når Akilles løp videre, var skilpadda kommet enda litt lengre fram. Og sånn fortsetter det, og Akilles kan derfor ikke ta igjen skilpadda.

Aristoteles avviste hele historien som irrelevant fordi vi kunne jo faktisk observere Akilles som tok igjen skilpadda. Det var ikke før 1900-tallet at man fant en god måte å argumentere mot poenget i historien. Det som er gjort i historien er at man har blandet sammen forholdet mellom tid og rom på feil måte.

Beklager digresjonen.

det finnes en god del desimaler og søke blant :P
http://www.angio.net/pi/piquery

Du sikter til Zenon fra Elea (ca. 450 f. Kr.), en av de førsokratiske filosofer, særlig kjent for sine bevis for at begrepene 'mangfold' og 'bevegelse' inneholder selvmotsigelse.

Bevisene understøtter Parminedes' lære om at det som er virkelig er ett og uforanderlig. Akilles og skillpadden, som du refererer til, er kan hende mest kjent av bevisene. Men vi har også "Den flygende pil" der Zenon tenker seg at bevegelsen til en flygende pil kan brytes ned i så små komponenter at pilens flukt som sådan kun er tilsynelatende, - sammensatt av en rekke posisjoner i luften hvor pilen i virkeligheten står stille i små brøkdeler av tid, omtrent slik en film gir inntrykk av bevegelse uten å bestå av annet enn en rekke stillbilder. Begge disse paradokser berører det som i matematikken senere ble kjent som konvergente rekker.

Men tilbake til 0,9999... og 1: Jeg har forstått det slik at desimalsystemets måte å nedskrive en tredjedel på er 0,3333... mens nøyaktig den samme tredjedelen som brøk blir nedskrevet som 1/3. Begge tall refererer til samme enhet, nemlig en tredjedel, som naturligvis multiplisert med 3 gir 1. Dermed oppstår fenomenet at både 0,9999... og 3/3 er lik 1.

Ja, det er lov å resonnere slik. Det er jo dette som er offisiell lære.

Men slik jeg ser det så kan man ikke skrive 1/3 som 0.333333... For man klarer ikke å skrive et tall med uendelig mange desimaler. Så det er her første feil begås. Brøken representerer en absolutt tredjedel, og det blir naturligvis en hel når man ganger med 3. Desimalverdien er representert med et uendelig antall desimaler. Ganger man dette med 3 så får man 0.99999... med uendelig antall desimaler. Det er fremdeles ikke 1, som er hele poenget mitt.

Synes ivioynar hadde det beste argumentet så lang - hva er 1 - 0.99999... ? Og han svarer selv: 0.0000... uendelig med 1 til slutt. Jeg synes dette henger sammen.

Hva er uendelig + 1? Er det større enn uendelig? Hva er uendelig delt på 2? En del av matematikkreglene for reelle tall blir satt på prøve når uendelig blandes inn.

Dette dilemmaet dreier seg om at de fleste mennesker (inklusive undertegnede) sliter med å begripe fenomenet uendelig.

Men vi kan være enige om å være uenige. Jeg ser at mitt syn på 0.9999-dilemmaet ikke er representativt. Men jeg må tenke på denne måten for å klare å få tak på begrepet uendelig.

@ capidog:

Et praktisk problem, å ikke kunne nedskrive tretall, eller nitall, etter komma i det uendelige idet din tid til å nedskrive er begrenset i motsetning til tallrekken, er ikke nødvendigvis et matematisk problem. Derfor skriver man brøken 1/3 som desimaltallet 0,3333... for å bli ferdig innen rimelig tid.

Problemet med ivioynars svar er at det forutsettes en ende på tallrekken bak kommaet, noe det ikke er matematisk sett. Du vil aldri nå til 0,0000... med 1 til slutt idet tallrekken stadig løper videre. Slik oppstår det aldri noe 1 til slutt.

Uendelig pluss en er uendelig idet du ikke meningsfylt kan legge hverken 1 eller noe annet til uendelig. Uendelig er allerede uendelig. Uendelig delt på 2 er uendelig idet uendelig er og forblir uendelig. Uansett hvor mye du dividerer uendelig med forblir svaret uendelig.

Nettopp. Du er nødt til å legge til side en del matematiske prinsipper når man blander inn uendelighet. Derfor har man tilpasset det slik at 0.99999... avrundes til 1 som en konvensjon - for det passer best med de forklaringene menneskene har konstruert seg.

Men jeg mener fremdeles at 0.99999... er forskjellig fra 1. Jeg mener også at 0.333333... er forskjellig fra 1/3. Jeg mener at 0.00000...1 er et gyldig resultat når du regner 1 - 0.99999...

Dersom det er dette som skal til for at jeg klarer å begripe uendeligheten, så får jeg heller ta feil. Men jeg bommer altså bare med en desimal i uendelig posisjon. Det blir kun teori, for det vil aldri kunne ha en praktisk betydning.

Det er feil at matematikkreglene for reelle tal blir satt på prøve når uendeleg blir blanda inn. Grunnen til det er at "uendeleg" ikkje er eit tal, ergo kan du ikkje nytta matematikkreglene for reelle tal i det heile tatt. Uendeleg er eit begrep me har innført for å hanskas med visse situasjonar og inngår ikkje i dei reelle tala. Derfor gir det inga meining å snakka om uendeleg + 1. Dette er rett og slett ikkje lov, matematisk sett.


For å svara litt meir på om 0.99.. = 1, så er det det. Tenkte eg kunne prøva å forklara det med konvergens av rekker. Sett at du har rekka 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... Teikner du dette opp på et ark (teikn firkant med mål 1*(1/2), så firkant med mål (1/2)*(1/2), så (1/2)*(1/4) osv), så ser du at arealet av desse firkantane tilsaman vil nerma seg 1 meir og meir. Men du kan aldri få 1. Me seier at summen av rekka konvergerer mot 1. Konvergens innebærer at du må summera uendeleg antal ledd for å få 1.

For 0.99.. sin del, kan me laga oss ei tilsvarande rekke: 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +... vil gi oss 0.99.. når me summerer. Ein kan visa, enten geometrisk eller matematisk, at denne rekka konvergerer mot 1. Derimot forstår me lett at me vil aldri få 1 så lenge me berre tar med endeleg antal ledd, tilsvarande endeleg antal desimalar. Men, sidan me har konvergens, så vil me få 1 dersom me tok med uendeleg antal ledd i rekka, som jo tilsvarar uendeleg antal desimalar i 0.99.. Derfor kan ein seia at 0.99.. = 1 viss og berre viss ein har uendeleg antal desimalar med.

Kan du i det hele tatt si at 0,000.. er et tall? Et tall er jo en fast verdi, og så lenge du ikke kan definere verdien, så er det vel da ikke et tall, men en udefinert verdi?