Har en liten 230-12V trafo, 0-60W. Jeg vet at belastningen på sekundærsiden ikke skal overstige 60W, men hva skjer hvis jeg kobler til en større belastning?

Er det noen fare for varmegang eller vil den bare ikke klare å levere det?

Varmgang, og spenninga på sekundærsida vil kunne synke på grunn av resitive og magnetiske tap.

Litt avhengig av hvilken type trafo det er snakk om.

Ringkjærne så vil spenningen på sekundærsiden gå ned mot 0 volt ved høyere belastning enn det den er laget for.
Ved elektronisk trafo og DC spenning, så sitter det nok en sikring på denne som vil ryke før dette blir et problem.

Det er som Blackkoz sier. Er det en tradisjonell trafo så vil nok spenninga reduseres, men over tid så vil den overopphetes og i verste fall føre til brannutvikling.
Er det en adapter av typen man benytter til laptop, mibil-lader, etc. så kan det være at den har en strømbegrensende funksjon som gjør at den bare blir stående å pumpe.