View Single Post
Nawesome
Provo's Avatar
Trådstarter Crew
Lengdekontraksjon
Lengdekontraksjon betyr en sammentrekning av lengde i fartsretningen. Hvis du måler opp en strekning langs en rett vei på en bestemt lengde L, og jeg kaster meg i bilen og passerer i en fantastisk hastighet langs denne lengden, så vil jeg måle den til å være kortere enn L! Dette ser man at er nødvendig ut fra beskrivelsen av tvillingparadokset, hvor Kari brukte 6,56 år på å fly en avstand hun fra jorden hadde målt til 20 lysår. Så la oss se på detaljene her.

Vi vet at farten, som vi kan kalle v, er lik for begge observatører, og vi vet at tidene våre går i forskjellig tempo i forhold til hverandre. Uten å hoppe til noen konklusjoner enda om hvorvidt vi vil se en lengdekontraksjon eller ikke, så kaller vi avstanden jeg vil oppleve den oppmerkede lengden til å være i fart for L'. Videre kaller vi tiden du måler at jeg bruker for t og tiden jeg vil oppleve å bruke på denne avstanden for t'. Ettersom fart er avstand delt på tid, så kan vi si at v=L/t og v=L'/t' – den samme farten er både lik din avstand delt på din tid og min avstand delt på min tid.

Hvis vi tenker oss at jeg har en klokke inne i bilen som du kan studere når jeg kjører forbi, så vil du som tidligere sagt se at den går saktere enn din egen klokke. Det vil si at jeg bruker færre "tikk" på min klokke enn på din for å passere dette avstandsstykket. Altså min t' er noe mindre enn din t. Og siden v=L/t og v=L'/t', så må jo også min L' være tilsvarende mindre enn din L for at de to v-ene skal være like. Med en veldig høyoppløst kilometerteller i bilen vil jeg altså måle avstanden vi målte opp til å være kortere enn L. Desto raskere du reiser, altså, jo kortere trenger du å forflytte deg for å komme frem! (Og skulle du faktisk forflytte deg i lysets hastighet, så vil både tiden du bruker og avstanden du reiser til hvor som helst i universet, sett fra ditt eget perspektiv, være lik null!) Vi kan også snu på situasjonen og se ganske lett at du faktisk vil observere at min bil er kortere når den er i fart enn når den står stille – for om det er jeg som ser et avstandsstykke (den oppmålte avstanden L) passere meg i høy fart, eller du som ser et avstandsstykke (mellom fronten og bakenden på bilen) passere deg i høy fart, så må situasjonen være lik. Synes du det siste var vanskelig å forstå, så husk igjen på at det er snakk om relativitet og perspektiver her. Tenk at vi heller passerer hverandre i motsatte retninger ute i verdensrommet med helt like romskip i voldsom hastighet – begge vil da oppleve den andres romskip til å være kortere enn sitt eget (men like brede).

Proper time
Kort fortalt er proper time tidsintervallet mellom to hendelser som skjer på samme sted. Det betyr at hvis du har et legeme i bevegelse, for eksempel meg i bilen min, så vil tiden jeg måler mellom jeg passerer de to punktene være proper time, mens tiden du måler at jeg bruker på å kjøre mellom punktene ikke er proper time. Det er fordi punktene passer meg på samme sted i koordinatsystemet i mitt treghetssystem. Altså, hvis vi sier at vi måler tiden fra fronten på bilen min passerer punkt 1 til fronten på bilen min passerer punkt 2, så skjer passeringene på samme sted i mitt system, men på forskjellig sted i ditt system.

Hvis vi derimot måler tiden det tar fra fronten på bilen min passerer punkt 1 til baken på bilen min passerer samme punkt, vil passeringene skje på forskjellige steder i mitt system, men samme sted i ditt system, og da det er altså ditt tidsintervall som er proper time.

Romtid
Konseptet romtid ble ikke brukt av Einstein direkte i den spesielle relativitetsteorien, men ble innført av en annen kjent fysiker fra samme tid for å forklare ting lettere. Einstein brukte samme konsept i sin generelle relativitetsteori. Men hva er det?

Romtid er et konsept som viser at tid best beskrives som en egen dimensjon på samme måte som de tre romdimensjonene. En forflytning i tid og rom vil beskrives som en vektor (en "pil" som inneholder lengde og retning, men ikke posisjon) med x-, y- og z-koordinater, pluss en tidskoordinat. En firedimensjonal vektor altså, hvor lengden på denne vektoren kalles et romtidintervall. Siden tid har noen begrensninger i forhold til romlig posisjon, må man ta det forbehold at man har negativt fortegn på den koordinatens kvadrat når man skal regne ut lengden på den. Tiden i tidskoordinaten skal også ganges med c, noe som er veldig viktig å huske. Ellers finner man lengden med Pythagoras på samme måte som med en to- eller tredimensjonal vektor (eller hypotenusen i en trekant). Jeg skal ikke gå noe særlig inn på matematikken her, ettersom det ikke er nødvendig for en kvalitativ beskrivelse, men det er et poeng som er verdt å merke seg.

Hvis vi går tilbake til fly-eksperimentet, og plotter din og flyets bevegelse i en enkel posisjonsgraf, så vil lengden på den streken, eller vektoren, som representerer bevegelsen ha forskjellig lengde avhengig om det er jeg eller du som plotter bevegelsen. Husk at du ser din egen bevegelse som null meter, mens jeg ser den som 3200 meter, hvis vi plotter bevegelsen for ett sekund. Hvis vi hadde plottet bevegelsen i romtid, derimot, altså som en strek eller vektor gjennom fire dimensjoner, så ville både du og jeg plottet en strek som var akkurat like lang. Hvis vi sier at flyet fløy ett sekund proper time (din tid, ettersom du starter og stopper klokka på samme sted), og at flyet fløy i x-retning, mens y-retning er oppover og z-retning bakover, ville din strek gått null enheter i x-retning, null i y-retning, null i z-retning og 1·c i tidsretning. Enkelt og greit fordi du ikke har beveget deg i rommet i ditt eget treghetssystem. Min strek måtte gått 3200 enheter i x-retning, null i y-retning, null i z-retning, og man ser da at så lenge strekene være like lange må jeg kompensere i tidsretning, som vil si at våre to tidsintervaller er forskjellige. Hvis jeg ikke kompenserer i tidsretning, vil min strek være nesten 3200 enheter lenger enn din. Husk her at grunnen til at dette lar seg kompensere er fordi tiden i tidskoordinaten skal ganges med c. Enhetene i romkoordinater er i meter, og i tiden er enheten sekunder, hvis man skal følge vanlig konsensus. Siden tiden i sekunder skal ganges med c, som er i meter per sekund, ender man opp med enheten meter i tidskoordinaten også.

For de som er interessert finner man romtidintervallet (lengden på romtidvektoren) med s=sqrt(x²+y²+z²-(c·t)²), som antydet tidligere. Man kan videre si at (v·t)²=x²+y²+z², slik at s²=(v·t)²-(c·t)², og lage to vektorer i to forskjellige treghetssystemer som beskriver bevegelsen til det ene systemet. Farten til det ene blir null, og man kan skille på de to t-ene som tidsintervaller hvor det ene er proper time, og regne ut differansen på de ved å sette lengden på vektorene like hverandre. Gjør du dette så ser du veldig raskt likheten med Lorentz-faktoren, og hvis du deler observert tid på proper time er du i mål.

Fra nå vil det bli noe matematisk, men heng på hvis du klarer.

Lorentz-faktoren
Som vi akkurat fant ut er Lorentz-faktoren forholdet mellom proper time og samme tidsintervall målt fra et sted i bevegelse, og ser slik ut (γ = liten gresk gamma, og τ = liten gresk tau):

γ = dt/dτ = 1/sqrt(1-u²/c²), hvor dt er observert tidsintervall, dτ er proper time, og u er det andre treghetssystemets hastighet. Det andre treghetssystemet velges ofte slik at legemet du observerer er stillestående i dette, så det vanlige er å sette inn farten til legemet du observerer som u. Akkurat som når jeg observerte din bevegelse når du var i flyet. Jeg nevner det fordi det er viktig når det kommer til noe som heter Lorentz-transformasjoner, som går på å gjøre om et legemes hastighet fra ett treghetssystem til et annet, men jeg går ikke inn på det her.

Man ser her at hvis farten på legemet man observerer øker opp mot c, så vil forholdet mellom observert tid og proper time nærme seg uendelig stort, fordi man ender med å dele på nesten-null! Man ser dermed at tiden man observerer fra et legeme i tilnærmet lysets hastighet vil være tilnærmet stillestående. Dette er det en del som misforstår, så jeg presiserer: Det er ikke lokaltiden på legemet som stopper, men tiden du observerer fra et legeme i tilnærmet lysets hastighet i forhold til ditt treghetssystem. Husk på relativiteten, så hvis dette legemets lokaltid stoppet, så kan man si det samme om din egen lokaltid, ettersom sett fra legemets ståsted så er det du som beveger deg i tilnærmet lysets hastighet. Alle oppfatter altså "sin egen tid" som normal. Lorentz-faktoren viser også at en hastighet over c vil gi et negativt tall under rottegnet, noe som gir en kompleks løsning (også kalt "ingen løsning" hvis man ikke har lært om komplekse tall).

Relativistisk bevegelsesmengde og kosmisk fartsgrense
I klassisk mekanikk kjenner vi til konseptet bevegelsesmengde (det som bevares i kollisjoner - eng: "momentum") som er produktet av masse og hastighet, og kalles p. Altså i klassisk mekanikk er p=m·v. Vi vet at fart er forflyttet avstand per tidsintervall. Tre meter per sekund for eksempel. Men vi vet også at for et legeme i bevegelse er det lokalt målte tidsintervallet, altså proper time, og tidsintervallet vi observerer forskjellig. Så hvilken tid skal man velge? En mulighet (den riktige, forøvrig) er å velge proper time, altså tiden observert for legemet selv. Vi kaller forflyttet avstand for dx og proper time for dτ, og skriver bevegelsesmengden slik:

p=m·dx/dτ

Ettersom det er vi som observerer legemet, og bevegelsesmengden er i forhold til vårt treghetssystem, gjør vi et lite triks for å gjøre om proper time til vår observerte tid. Vi husker at det gjøres med Lorentz-faktoren, og vi ender da opp med:

p=γ·m·dx/dt

Hvis du fortsatt henger med, så ser du kanskje at forflyttet avstand delt på tiden vi observerer, er jo farten vi observerer! Fart er lik forflyttet avstand per tid. Vi skriver denne farten som v, og legger merke til at relativistisk bevegelsesmengde er nesten lik den i klassisk mekanikk, bare at vi ganger med Lorentz-faktoren:

p=γ·m·v

Det vi har gjort er bare å definere hvilken tid man må bruke for at uttrykket for bevegelsesmengde skal være riktig i spesiell relativitet. Forskjellen fra klassisk mekanikk skyldes tidsdilatasjonen vi så på tidligere. Vår forskjellige oppfatning av tid gjør at vi må omdefinere, eller egentlig presisere, bevegelsesmengden litt.

Man begynner nå å se konturene på den kosmiske fartsgrensen. For når farten går mot c, så vil jo også bevegelsesmengden gå mot uendelig, nettopp på grunn av denne Lorentz-faktoren! Som mange vet er kinetisk energi (bevegelsesenergi) uløselig knyttet opp mot bevegelsesmengde (kinetisk energi er den integrerte av farten med hensyn på bevegelsesmengde (Ek=int(v·dp)) for de som lurer), og man ser at jo høyere farten er, dess mer energi må til for å øke farten enda mer. Setter man inn c for farten for å finne kinetisk energi for et legeme i lysets hastighet, ser man at man får uendelig som svar både som bevegelsesmengde og bevegelsesenergi så lenge massen er over null. Og prinsippet om energibevaring gjør at man følgelig må ha uendelig mye energi for å akselerere et legeme til denne farten.

Relativistisk masse vs. hvilemasse
Først av alt, hvilemasse er den vanlige massen vi er kjent med. La oss si at når du går på vekta viser den 80 kg. Det vil si at din hvilemasse er 80 kg. Relativistisk masse tar Lorentz-faktoren med i bildet, noe som åpner veldig for misforståelser. Husk at relativistisk bevegelsesmengde er p=γ·m·v. Hvis man vrir litt på dette kan man tilknytte Lorentz-faktoren til massen i stedet for farten, slik at hvis vi kaller hvilemassen for m og relativistisk masse for M, så kan man si at M=γ·m.

Det er nok dette som gjør at man kan lese over alt at "når farten går mot lyshastigheten, går massen mot uendelig". Det er da snakk om den relativistiske massen, og ikke legemets interne struktur, men misforstås betraktelig oftere enn det forstås. Mange forfattere og fysikere, deriblandt Einstein selv, nekter å bruke konseptet om relativistisk masse nettopp på grunn av alle misforståelsene det innbyr til. Grunnen til at at et legeme krever en uendelig mengde energi for å oppnå lyshastigheten er ikke på grunn av noen endring i intern struktur, men på grunn av selve romtidens oppbygning!

Ta derfor alt du hører om relativistisk og uendelig masse og tøm det ut igjen av hodet før det forvirrer deg mer enn det allerede har gjort. Sjansen er minimal for at du noensinne skulle komme heldig ut av å benytte dette konseptet.

Relativistisk energi og E = mc²
Dette skulle være en kvalitativ beskrivelse av spesiell relativitet, og akkurat denne delen blir ekstremt fort veldig matematisk. For å ikke bryte med intensjonen, vil jeg bare raskt forklare hvordan dette henger sammen.

Som nevnt tidligere her, så henger kinetisk energi og bevegelsesmengde tett sammen, og man kan finne et matematisk uttrykk for den kinetiske energien hvis man har et uttrykk for bevegelsesmengden. Hvis man gjør dette med relativistisk bevegelsesmengde, ender man opp med et uttrykk for energien som er todelt, og ser slik ut:

Ek=γ·m·c² - m·c²

Man har altså én del som er avhengig av fart via Lorentz-faktoren, og én del som uavhengig av fart. Det ser da ut til at kinetisk energi er differansen mellom en eller annen total energi, og en energi mc². Det viser seg altså å stemme, og man kaller denne E=mc² for hvileenergien, og den kan forklares som et omsettingsforhold mellom energi og masse. Dette prinsippet benyttes daglig i atomkraftverk, hvor man fisjonerer (spalter) uranatomer. Når uranatomet går i oppløsning og dets byggestener løsrives, vil summen av massen til alle byggestenene tilstede være en del mindre enn massen til det opprinnelige atomet. Energien som frigjøres er nøyaktig lik den manglende massen ganget med kvadratet av lysets hastighet.

Veis ende
Det var en ganske kvalitativ beskrivelse av den spesielle relativitetsteorien, og jeg håper noen fikk noe ut av dette. Hvis noen har noen spørsmål om dette så skal jeg prøve å besvare de etterhvert som jeg har mulighet.
Sist endret av Provo; 13. mai 2012 kl. 17:54.