Jeg ville gått for JS eller PHP. Passer fint for dette, og så godt som alle webservere har støtte for PHP.

1. Du må ha webhotell og domene, begge deler får du ordnet gjennom host1.no
2. Det finnes garantert noe ferdig, får veldig mye treff på "quiz" og "christmas" på github, men kjenner ikke til noe personlig.
3. W3Schools har en tutorial for en PHP-quiz: https://www.w3schools.com/php/php_quiz.asp den kan nok hjelpe deg godt i gang.